Nacido en la localidad de Cajetina, Brasanac es un centrocampista de buen toque de balón y llegada al área rival. Formado desde los 13 años en el Partizán de Belgrado, debutó con apenas 18 en el primer equipo, misma edad con la que se estrenó en la Liga de Campeones en un encuentro ante el Arsenal. En 2011 fue cedido al Smederevo, donde logró tener los minutos suficientes para volver al año siguiente al Partizán.

Su protagonismo fue aumentando progresivamente en las siguientes temporadas, en las que disputó previas de Liga de Campeones y Europa League con su equipo, siendo la 2015/16 su campaña de mayor participación, llegando a los 40 partidos oficiales y anotando cuatro goles. Con el Partizán ganó cinco ligas y dos copas serbias.

Fruto de sus buenas actuaciones, el Real Betis se hizo con su fichaje en el verano de 2016. Brasanac disputó la pasada temporada 26 partidos como verdiblanco (20 de ellos como titular), totalizando 1.704 minutos en los que anotó un gol (en Balaídos ante el Celta para dar la victoria a su equipo) y dio una asistencia. Internacional en todas las categorías con su selección, Darko disputó las Eurocopas sub-19, en 2011, y sub-21, en 2015, mismo año en el que debutó con la selección absoluta de Serbia, con la ha que sido tres veces internacional.