Extremo izquierdo argentino que destaca por su velocidad y desborde, llegó a España con apenas doce años para jugar en las canteras de Real Madrid y Atlético de Madrid, debutando en Segunda División ‘B’ con el San Sebastián de los Reyes. Su salto a la Liga Adelante llegó de la mano del Recreativo de Huelva en 2012, convirtiéndose en una de las revelaciones del campeonato y fichando el año siguiente por el Brondby danés. Tras dos temporadas en Dinamarca, fichó por el Leganés en verano de 2015 para completar una extraordinaria campaña en las que jugaría los 46 partidos oficiales del club en la temporada, siendo el máximo goleador del equipo con trece dianas y consiguiendo el ascenso a Primera División.

En su primera temporada en LaLiga Santander, Szymanowski sería de nuevo pieza clave en las filas de los pepineros, siendo de nuevo el máximo goleador blanquiazul con ocho tantos que ayudaron al Leganés a permanecer un año más en la máxima categoría, entre ellos el tanto decisivo ante el Athletic en San Mamés. En la 2017/18, Alexander comenzó como dueño del extremo izquierdo hasta que una lesión a comienzos de diciembre frenó su progresión. A pesar de ello, Szymanowski renovó su compromiso con los pepineros hasta el año 2020. En la pasada campaña no pudo tener participación por sus problemas físicos, volviendo a los terrenos de juego en la última jornada del campeonato en El Alcoraz ante la S.D. Huesca.